En tanto, el capítulo desarrollado por Gatica y sus pares Salim Meddahi y Antonio Márquez, ambos de la Universidad de Oviedo (España), se titula A virtual marriage à la mode: some recent results on the coupling of VEM and BEM. En él, los investigadores presentan algunos resultados recientes sobre el uso combinado de ambos métodos, a saber, Virtual Element Methods (VEM) y Boundary Element Methods (BEM), para resolver problemas de transmisión lineal en dos y en tres dimensiones. Â

En particular, Meddahi tiene un historial de colaboración de casi 25 años con Gatica, y más recientemente con otros investigadores del CI²MA, tanto en la coautoría de una gran cantidad de manuscritos, como codirigiendo tesis. “Poco antes de la pandemia, Salim Meddahi, quien me visitaba acá en Concepción, me hizo ver que el método de elementos de frontera (sigla BEM en inglés), técnica que habíamos utilizado anteriormente en conjunto con el método de elementos finitos (FEM en inglés) para resolver diversos problemas en mecánica de medios continuos, poseía características muy propicias para ser combinado con el método de elementos virtuales (VEM en inglés)”, detalla Gatica. Â

“VEM es una metodología relativamente reciente que apunta a resolver numéricamente Ecuaciones Diferenciales Parciales, EDPs, utilizando descomposiciones poligonales o poliédricas relativamente arbitrarias del dominio”, continúa Gatica, “para lo cual se consideran como parte de los grados de libertad respectivos algunos valores polinomiales de la solución o de sus derivadas en las fronteras de los dominios involucrados, característica, esta última, que es propia también del BEM. Esta fue precisamente la observación principal de Salim. De acuerdo a ello, nos propusimos desarrollar el análisis combinado del BEM y el VEM para un problema de interacción entre las ecuaciones de Poisson y Laplace, lo cual efectivamente hicimos en un artículo publicado en 2019 en la revista SIAM Journal on Numerical Analysis, dando origen así al primer trabajo que utilizo el acoplamiento entre el BEM y el VEM para resolver problemas de transmisión. Un año más tarde extendimos lo anterior a problemas de dispersión acústica en 2 y 3 dimensiones, lo cual genero un segundo trabajo publicado en Journal of Numerical Mathematics”.Â

“Posteriormente, y me imagino a raíz de los avances descritos, recibimos la invitación de los editores a contribuir un capítulo en este libro, e involucramos también a Antonio Márquez, del Departamento de Construcción e Ingeniería de Fabricación, de la U. de Oviedo, de modo que procedimos a desarrollar en conjunto una presentación unificada de los principales aportes de los trabajos ya publicados”, narra Gatica. “Un aspecto interesante de nuestro capitulo es que se resalta de mejor manera un subproducto de nuestro análisis, el cual consiste en una nueva forma de desarrollar el acoplamiento entre BEM y FEM, idea que surgió de manera natural al tratar de extender nuestros resultados al caso de 3 dimensiones”. Â

“Hoy en día ha crecido considerablemente la comunidad internacional de analistas numéricos trabajando sobre el uso combinado del VEM, no sólo con el BEM, sino que también con diversas otras metodologías numéricas”, concluye Gatica.